El nacimiento de los números complejos

A lo largo de la historia, la forma de concebir los números ha evolucionado en forma gradual y paralela al desarrollo intelectual de las primeras generaciones pensantes del hombre. Desde el momento en que la humanidad comenzó a formularse interrogantes, los números emergieron para satisfacer las necesidades primarias. Por ejemplo, las comunidades primitivas necesitaban contar el número de sus miembros, el número de sus presas cazadas, el número de sus herramientas, entre otros.

 Podemos afirmar que el primer gran desarrollo abstracto fue la concepción de contar. Además, surgió la necesidad de sustraer de una cierta cantidad de cosas un número determinado de ellas, lo que originó la idea de los números negativos. Más aún, cuando una presa debía ser repartida entre varias personas a partes iguales para su alimentación, se añadió el concepto de fracción. Todos estos conceptos, junto con los llamados números irracionales descubiertos por los griegos, dieron lugar a lo que hoy conocemos como números reales.

Tiempo después, a principios del siglo XVI, los sistemas numéricos eran adecuados para satisfacer todas las necesidades cotidianas y científicas. En aquel momento, se creía que no se requería un nuevo tipo de número (de hecho, en la actualidad las jóvenes mentes lo siguen creyendo a inicios de sus estudios). Sin embargo, en ese mismo siglo, surgió un nuevo conjunto de números un poco más excéntricos que los números reales: los llamados números complejos, aunque algunas evidencias indican que los matemáticos hindúes en el siglo XII ya los conocían. 

El nombre de “números complejos” no se debe a su dificultad para utilizarlos o a su propia estructura, sino más bien a su forma no tradicional de realizar operaciones aritméticas en comparación con los números reales. El desarrollo de la teoría de los números complejos se atribuye a varios personajes, destacando figuras como  Tartaglia, Gerolamo Cardano y Rafael Bombelli en sus orígenes alrededor del siglo XVI. Posteriormente, en el siglo XIX, grandes mentes como Descartes, Euler, Gauss y Cauchy, contribuyeron al desarrollo de los números complejos desde una perspectiva más moderna.

La forma de un número complejo consta de dos partes que se suman: una llamada parte real, compuesta por números reales, y otra llamada parte imaginaria, compuesta por números imaginarios.  En término abstracto, se expresa como:  z = a + ib. En ocasiones, existe la confusión de que un número complejo es equivalente a un número imaginario, pero no es así. Puede visualizarse un número complejo como un átomo siendo su núcleo atómico el número imaginario puro. 

Por otro lado, hablando de los números imaginarios, este término se debe a Descartes, padre del racionalismo moderno, quien encontró adecuada esta denominación debido a que representan cantidades más abstractas y más difíciles de interpretar mentalmente por su origen y definición. En matemática moderna, es común utilizar el símbolo “i” (usado por primera vez por L. Euler) para denotar un número imaginario puro, en ingeniería se utiliza la letra “j” para evitar confundirlo con la magnitud física de Intensidad de Corriente.

El número “i”, que proviene de la palabra “imaginario”, se distingue por la propiedad de que, al multiplicarlo por sí mismo, da como resultado un menos uno (i*i = -1). Esta idea parece contradecir nuestra lógica aritmética elemental, pero precisamente esta definición es la que permite construir el conjunto de los números complejos como una estructura matemática completamente nueva.

Regresando a los números complejos, éstos surgieron de manera formal cuando Gerolamo Cardano revisó la resolución de ecuaciones cúbicas hacia el año 1545. La innovación de estos números radica en que no siguen las reglas comunes de suma, resta, multiplicación y división de los números reales. Los números complejos tienen una descripción geométrica propia, por lo que permite considerarlos como un sistema de números ampliado incluyendo a los números reales como caso particular.

La introducción de los números complejos permitió dar consistencia y solución a varios planteamientos matemáticos que permanecían insolubles. Asimismo, tienen aplicaciones en diversas áreas de las ciencias exactas e ingenierías. Son indispensables en la electrónica, cálculo estructural, en los fundamentos de mecánica cuántica, y especialmente en varios campos de la misma matemática, como el análisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales parciales, la teoría de matrices, y teoría de grupos. Los números complejos son una herramienta que nos permite el análisis de formas abstractas del pensamiento, materializadas en ecuaciones continuas.

Dr. Omar Aguilar Loreto / Dr. José Antonio Muñoz Gómez, Departamento de Ingenierías, CUCSUR